3. Решите систему уравнений способом подстановки {x-y=6, [x²+y²=68.

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки.

1. Из первого уравнения выразим \( x \) через \( y \):

\( x = y + 6 \)

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

\( (y + 6)^2 + y^2 = 68 \)

3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

\( y^2 + 12y + 36 + y^2 = 68 \)

\( 2y^2 + 12y + 36 - 68 = 0 \)

\( 2y^2 + 12y - 32 = 0 \)

\( y^2 + 6y - 16 = 0 \)

4. Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант \( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \).

\( y_1 = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_2 = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \)

5. Теперь найдем соответствующие значения \( x \) для каждого \( y \):

При \( y_1 = 2 \): \( x_1 = y_1 + 6 = 2 + 6 = 8 \)

При \( y_2 = -8 \): \( x_2 = y_2 + 6 = -8 + 6 = -2 \)

Ответ: (8; 2), (-2; -8).