3. Решите уравнение: a) (x + 2)(x² - 2x + 4) - x(x + 2)(x - 2) = 12; б) ((3x+1)³ / (3x+5)³) = (x-3)³ / (x-3)³; в) 5(x - 3) - (6 - 2x)² = 0.

Решение:

1. а) Решение уравнения:

   Сначала раскроем скобки, используя формулу суммы кубов a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²):

   $$ (x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8 $$

   Теперь раскроем вторую часть скобок:

   $$ x(x + 2)(x - 2) = x(x^2 - 4) = x^3 - 4x $$

   Подставим обратно в уравнение:

   $$ (x^3 + 8) - (x^3 - 4x) = 12 $$

   Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

   $$ x^3 + 8 - x^3 + 4x = 12 $$$$ 8 + 4x = 12 $$$$ 4x = 12 - 8 $$$$ 4x = 4 $$$$ x = 1 $$
2. б) Решение уравнения:

   Упростим уравнение, заметив, что (x - 3)³ / (x - 3)³ равно 1 (при условии, что x ≠ 3):

   $$ \left( \frac{3x+1}{3x+5} \right)^3 = 1 $$

   Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

   $$ \frac{3x+1}{3x+5} = 1 $$

   Теперь решим полученное дробно-рациональное уравнение:

   $$ 3x + 1 = 1 \cdot (3x + 5) $$$$ 3x + 1 = 3x + 5 $$$$ 1 = 5 $$

   Это равенство неверно, следовательно, у данного уравнения нет решений.

3. в) Решение уравнения:

   Раскроем скобки:

   $$ 5x - 15 - (36 - 24x + 4x^2) = 0 $$

   Раскроем скобки, меняя знаки:

   $$ 5x - 15 - 36 + 24x - 4x^2 = 0 $$

   Приведем подобные слагаемые и запишем в стандартном виде квадратного уравнения:

   $$ -4x^2 + (5x + 24x) + (-15 - 36) = 0 $$$$ -4x^2 + 29x - 51 = 0 $$

   Умножим на -1 для удобства:

   $$ 4x^2 - 29x + 51 = 0 $$

   Найдем дискриминант по формуле D = b² - 4ac:

   $$ D = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 51 = 841 - 16 \cdot 51 = 841 - 816 = 25 $$

   Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

   $$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$$$ x_1 = \frac{29 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{29 + 5}{8} = \frac{34}{8} = \frac{17}{4} = 4.25 $$$$ x_2 = \frac{29 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{29 - 5}{8} = \frac{24}{8} = 3 $$

Ответ: а) x = 1; б) решений нет; в) x = 3, x = 17/4