5. Постройте график функции y = {1 + 2x, x < 0; 1 - 2x, x ≥ 0} и задайте эту функцию одной формулой. Укажите область определения и множество значений функции.

Решение:

Данная функция задана кусочно:

• Для x < 0, y = 1 + 2x. Это линейная функция. При x = 0, y = 1. При x = -1, y = 1 + 2(-1) = -1.
• Для x ≥ 0, y = 1 - 2x. Это также линейная функция. При x = 0, y = 1. При x = 1, y = 1 - 2(1) = -1.

Построим график:

График функции представляет собой "птичью лапку" или "галочку" с вершиной в точке (0, 1).

Задание функции одной формулой:

Данную функцию можно представить с помощью модуля:

$$ y = 1 - 2|x| $$

Проверим:

• Если x < 0, то |x| = -x. Тогда y = 1 - 2(-x) = 1 + 2x.
• Если x ≥ 0, то |x| = x. Тогда y = 1 - 2x.

Формула верна.

Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел, так как нет ограничений на значение x.

$$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$

Множество значений:

Максимальное значение функции достигается в вершине, где x = 0, и равно y = 1. При удалении от вершины в обе стороны, значение y уменьшается. Таким образом, множество значений:

$$ E(y) = (-\infty; 1] $$

Ответ: Область определения: D(y) = (-∞; +∞). Множество значений: E(y) = (-∞; 1]. Функция одной формулой: y = 1 - 2|x|.