3. Решите уравнение: а) $y^4-8y^3+24y^2-32y+15=0$; б) $(x-2)^6+(x-4)^6=64$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решите уравнение: а) $y^4-8y^3+24y^2-32y+15=0$; б) $(x-2)^6+(x-4)^6=64$.$ Фото задания

3. Решите уравнение: а) $y^4-8y^3+24y^2-32y+15=0$; б) $(x-2)^6+(x-4)^6=64$.

Accepted Answer

а) Выделим четвертую степень: $y^4-8y^3+24y^2-32y+16=(y-2)^4$. Поэтому

$(y-2)^4-1=0$, то есть $(y-2)^4=1$. Для действительных корней $y-2=\pm1$, откуда $y=1$ или $y=3$.

б) Положим $t=x-3$. Тогда $x-2=t+1$, $x-4=t-1$:

$(t+1)^6+(t-1)^6=64$.

Раскрывая скобки и складывая, получаем $2(t^6+15t^4+15t^2+1)=64$. Обозначим $u=t^2$, где $u\ge0$. Тогда $u^3+15u^2+15u-31=0$, или $(u-1)(u^2+16u+31)=0$.

При $u\ge0$ второй множитель положителен, поэтому $u=1$. Значит, $t=\pm1$, а следовательно, $x=2$ или $x=4$.

Ответ: а) $1, 3$; б) $2, 4$.

3. Решите уравнение: а) \(y^4-8y^3+24y^2-32y+15=0\); б) \((x-2)^6+(x-4)^6=64\).

Ответ: