5. Докажите, что знакопеременная сумма всех чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля равна нулю, то есть для любого $n\ge1$ верно равенство: $C_n^0-C_n^1+C_n^2-\ldots\pm C_n^{n-1}+C_n^n=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите, что знакопеременная сумма всех чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля равна нулю, то есть для любого…$ Фото задания

5. Докажите, что знакопеременная сумма всех чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля равна нулю, то есть для любого $n\ge1$ верно равенство: $C_n^0-C_n^1+C_n^2-\ldots\pm C_n^{n-1}+C_n^n=0$.

Accepted Answer

По биному Ньютона разложение $(1-1)^n$ имеет вид

$(1-1)^n=C_n^0-C_n^1+C_n^2-\ldots+(-1)^nC_n^n$.

При $n\ge1$ левая часть равна нулю, поэтому знакопеременная сумма равна нулю. Знак перед последним слагаемым определяется чётностью $n$: он равен $(-1)^n$.

Ответ: