4. Докажите, что: а) если $c$ — целое, а $n$ — чётное натуральное число, то число $(c-3)^n-3^n$ делится на $c$; б) числа $4562^n$ и $2^n$ оканчиваются одной и той же цифрой при любом натуральном $n$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите, что: а) если $c$ — целое, а $n$ — чётное натуральное число, то число $(c-3)^n-3^n$ делится на $c$; б)…$ Фото задания

4. Докажите, что: а) если $c$ — целое, а $n$ — чётное натуральное число, то число $(c-3)^n-3^n$ делится на $c$; б) числа $4562^n$ и $2^n$ оканчиваются одной и той же цифрой при любом натуральном $n$.

Accepted Answer

а) По модулю $c$ имеем $c-3\equiv-3$. Так как $n$ чётное, $(-3)^n=3^n$. Следовательно, $(c-3)^n-3^n\equiv(-3)^n-3^n=0\pmod c$, то есть выражение делится на $c$. Здесь предполагается $c\ne0$, поскольку делимость на ноль не определена.

б) Последняя цифра числа определяется его остатком при делении на 10. Поскольку $4562\equiv2\pmod{10}$, то для любого натурального $n$ верно $4562^n\equiv2^n\pmod{10}$. Значит, числа оканчиваются одной и той же цифрой.

Ответ: