6. 1. Сколькими способами можно выбрать 5 красок из 7 имеющихся? 2. В круговом турнире по шахматам всего было сыграно 45 партий. Сколько шахматистов участвовало в турнире? 3. Сколькими способами можно разбить 10 человек на 2 баскетбольные команды по 5 человек в каждой? 4. У Нины 7 разных шоколадных конфет, у Коли 9 разных карамелек. Сколькими способами они могут обменяться друг с другом пятью конфетами?

1. Порядок выбора красок не важен, поэтому используем сочетания: \(C_7^5=C_7^2=\frac{7\cdot6}{2}=21\).

2. В круговом турнире каждый участник играет с каждым один раз. Если участников \(n\), то \(C_n^2=45\):

   \(\frac{n(n-1)}{2}=45\), откуда \(n^2-n-90=0\), то есть \((n-10)(n+9)=0\). Подходит положительное значение \(n=10\).

3. Выбираем 5 человек для одной команды: \(C_{10}^5=252\). Команды не различаются по названиям, поэтому каждое разбиение посчитано дважды — по выбору каждой из двух команд. Искомое число: \(\frac{C_{10}^5}{2}=126\).

4. Каждый выбирает 5 конфет из своих; выборы независимы. Число способов обмена: \(C_7^5\cdot C_9^5=21\cdot126=2646\).

Ответ: 1) 21 способ; 2) 10 шахматистов; 3) 126 способов; 4) 2646 способов.