3. С ледяной горы высотой h = 1 м основанием b = 5 м съезжают санки, которые останавливаются, пройдя горизонтальный путь l = 95 м. Найти коэффициент трения и коэффициент полезного действия наклонной плоскости.

Задача 3

Дано:

\( h = 1 \text{ м} \)

\( b = 5 \text{ м} \)

\( l = 95 \text{ м} \)

Найти: \( \mu \), \( \eta \)

Решение:

Сначала найдем длину наклонной плоскости \( L \) по теореме Пифагора: \( L = \sqrt{h^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \text{ м} \).

Скорость санок в начале горизонтального пути (в конце спуска) найдем, используя закон сохранения энергии с учетом работы силы трения на наклонной плоскости. Работа силы трения: \( A_{тр, накл} = \mu N_{накл} L \), где \( N_{накл} = mg \cos{\alpha} \). Угол \( \alpha \) таков, что \( \cos{\alpha} = \frac{b}{L} = \frac{5}{\sqrt{26}} \).

\( A_{тр, накл} = \mu mg \frac{b}{L} L = \mu mgb \).

Начальная потенциальная энергия: \( E_p = mgh \).

Работа всех сил равна изменению кинетической энергии. \( E_p - A_{тр, накл} = E_{k,кон} - E_{k,нач} \). В начале движения \( E_{k,нач}=0 \), в конце спуска \( E_{k,кон} = \frac{1}{2} m V^2 \).

\( mgh - \mu mgb = \frac{1}{2} m V^2 \).

\( V^2 = 2(gh - \mu gb) \). (1)

На горизонтальном участке санки останавливаются под действием силы трения \( F_{тр,гор} = \mu mg \). Путь \( l = 95 \text{ м} \).

Работа силы трения на горизонтальном участке: \( A_{тр,гор} = F_{тр,гор} \cdot l = \mu mgl \).

По второму закону Ньютона: \( -\mu mg = ma \). Ускорение \( a = -\mu g \).

Используем формулу \( V_{кон}^2 = V_{нач}^2 + 2al \). В данном случае \( V_{кон} = 0 \), \( V_{нач} = V \) (скорость в начале горизонтального пути).

\( 0 = V^2 + 2(-\mu g)l \).

\( V^2 = 2\mu gl \). (2)

Приравниваем (1) и (2):

\( 2(gh - \mu gb) = 2\mu gl \)

\( gh - \mu gb = \mu gl \)

\( gh = \mu gb + \mu gl \)

\( gh = \mu g (b + l) \)

\( \mu = \frac{h}{b + l} \)

\( \mu = \frac{1 \text{ м}}{5 \text{ м} + 95 \text{ м}} = \frac{1}{100} = 0.01 \).

Коэффициент полезного действия (КПД) наклонной плоскости: \( \eta = \frac{E_p - A_{тр, накл}}{E_p} \) или \( \eta = \frac{E_{k,кон}}{E_p} \), где \( E_{k,кон} = \frac{1}{2} mV^2 = \mu mgl \).

\( \eta = \frac{\mu mgl}{mgh} = \frac{\mu l}{h} \).

\( \eta = \frac{0.01 \cdot 95 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 0.95 \).

В процентах: \( \eta = 0.95 \cdot 100 \% = 95 \% \).

Ответ: Коэффициент трения \( \mu = 0.01 \). Коэффициент полезного действия \( \eta = 95 \% \).