Задачи 1. Металлический шарик массой m = 100 г равномерно движется в горизонтальной плоскости по окружности радиусом R=50 см с частотой n₁ = 3 с⁻¹. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить частоту до n₂ = 5 с⁻¹?

Задача 1

Дано:

\( m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг} \)

\( R = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м} \)

\( n_1 = 3 \text{ с}^{-1} \)

\( n_2 = 5 \text{ с}^{-1} \)

Найти: \( A \)

Решение:

Для движения по окружности требуется центростремительное ускорение: \( a_{цс} = \omega^2 R \), где \( \omega = 2\pi n \) — угловая скорость.

Начальная угловая скорость: \( \omega_1 = 2\pi n_1 = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \text{ с}^{-1} \).

Конечная угловая скорость: \( \omega_2 = 2\pi n_2 = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \text{ с}^{-1} \).

Начальная кинетическая энергия: \( E_{k1} = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (\omega_1 R)^2 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 R^2 \)

\( E_{k1} = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot (6\pi)^2 \cdot (0.5)^2 = 0.05 \cdot 36\pi^2 \cdot 0.25 = 0.45\pi^2 \text{ Дж} \).

Конечная кинетическая энергия: \( E_{k2} = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (\omega_2 R)^2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2 \)

\( E_{k2} = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot (10\pi)^2 \cdot (0.5)^2 = 0.05 \cdot 100\pi^2 \cdot 0.25 = 1.25\pi^2 \text{ Дж} \).

Работа, совершенная для увеличения частоты, равна изменению кинетической энергии (если нет других сил, совершающих работу): \( A = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} \).

\( A = 1.25\pi^2 - 0.45\pi^2 = 0.8\pi^2 \text{ Дж} \).

Приближенное значение \( \pi^2 \approx 9.87 \).

\( A \approx 0.8 \cdot 9.87 \approx 7.896 \text{ Дж} \).

Ответ: Работа равна \( 0.8\pi^2 \text{ Дж} \) (приблизительно 7.9 Дж).