5. Небольшое тело соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в мертвую петлю радиусом R=20 см (см. рис.). Какой должна быть наименьшая высота ската, чтобы тело сделало полную петлю не выпадая? Трением пренебречь.

Задача 5

Дано:

Радиус мертвой петли \( R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м} \).

Трением пренебречь.

Найти: Наименьшую высоту ската \( h \).

Решение:

Условие, чтобы тело не выпадало из мертвой петли в верхней точке, заключается в том, что центростремительная сила должна быть больше или равна силе тяжести. Минимальное условие достигается, когда сила реакции опоры равна нулю, и центростремительная сила обеспечивается только силой тяжести: \( mg = \frac{mv^2}{R} \), где \( v \) — скорость в верхней точке петли.

Отсюда, минимальная скорость в верхней точке: \( v^2 = gR \).

Теперь используем закон сохранения энергии. Пусть начальная высота ската равна \( h \), а тело находится в покое. В верхней точке петли (высота \( 2R \)) тело имеет кинетическую энергию \( \frac{1}{2} mv^2 \) и потенциальную энергию \( mg(2R) \).

Начальная энергия: \( E_{нач} = mgh \).

Энергия в верхней точке петли: \( E_{верх} = \frac{1}{2} mv^2 + mg(2R) \).

По закону сохранения энергии: \( E_{нач} = E_{верх} \).

\( mgh = \frac{1}{2} mv^2 + 2mgR \).

Подставляем минимальное значение \( v^2 = gR \):

\( mgh = \frac{1}{2} m(gR) + 2mgR \)

Сокращаем массу \( m \) и \( g \) (если \( g \neq 0 \)):

\( h = \frac{1}{2} R + 2R \)

\( h = \frac{5}{2} R \).

Подставляем значение радиуса \( R = 0.2 \text{ м} \):

\( h = \frac{5}{2} \cdot 0.2 \text{ м} = 5 \cdot 0.1 \text{ м} = 0.5 \text{ м} \).

Ответ: Наименьшая высота ската должна быть 0.5 м.