4. Определить ускорение обруча, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом а при основании. Вся масса обруча сосредоточена в ободе.

Задача 4

Дано:

Обруч, угол наклонной плоскости \( \alpha \).

Масса сосредоточена в ободе.

Найти: \( a \)

Решение:

Для обруча момент инерции \( I = mR^2 \), где \( m \) — масса, \( R \) — радиус.

При скатывании без проскальзывания действуют две силы: сила тяжести \( mg \) и сила нормальной реакции \( N \). Сила трения \( F_{тр} \) направлена против движения, т.е. вверх по наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона для движения центра масс:

Вдоль наклонной плоскости: \( mg \sin{\alpha} - F_{тр} = ma \) (1)

Перпендикулярно наклонной плоскости: \( N - mg \cos{\alpha} = 0 \Rightarrow N = mg \cos{\alpha} \).

Условие скатывания без проскальзывания: \( F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos{\alpha} \).

Запишем уравнение вращательного движения:

\( F_{тр} R = I \beta \), где \( \beta \) — угловое ускорение.

Подставим \( I = mR^2 \): \( F_{тр} R = mR^2 \beta \Rightarrow F_{тр} = mR \beta \).

Связь между линейным и угловым ускорениями при движении без проскальзывания: \( a = \beta R \Rightarrow \beta = \frac{a}{R} \).

Следовательно, \( F_{тр} = mR \frac{a}{R} = ma \).

Подставим \( F_{тр} = ma \) в уравнение (1):

\( mg \sin{\alpha} - ma = ma \)

\( mg \sin{\alpha} = 2ma \)

\( a = \frac{1}{2} g \sin{\alpha} \).

Ответ: Ускорение обруча равно \( a = \frac{1}{2} g \sin{\alpha} \).