3. sin 7x − sin x = cos 4x

Применим формулу разности синусов:

\(\sin 7x-\sin x=2\cos 4x\sin 3x\).

Тогда \(2\cos 4x\sin 3x=\cos 4x\), откуда

\(\cos 4x(2\sin 3x-1)=0\).

1) \(\cos 4x=0\), поэтому \(4x=\frac{\pi}{2}+\pi k\) и \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}\).

2) \(2\sin 3x-1=0\), то есть \(\sin 3x=\frac12\). Следовательно, \(3x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(3x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\).

Ответ: \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}\), или \(x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}\), или \(x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}\), \(k\in\mathbb Z\).