4. cos 3x + cos x = 4 cos 2x

Применим формулу суммы косинусов: \(\cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x\).

Получаем \(2\cos 2x\cos x=4\cos 2x\), то есть \(2\cos 2x(\cos x-2)=0\).

Уравнение \(\cos x=2\) решений не имеет, поскольку \(-1\leq\cos x\leq1\). Поэтому \(\cos 2x=0\).

Тогда \(2x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), откуда \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\).

Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\), \(k\in\mathbb Z\).