3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

Решение:

Для составления двузначного числа из заданного набора цифр \( {1, 2, 3, 4, 5, 6} \) необходимо выбрать две различные цифры и расположить их в определенном порядке (на месте десятков и на месте единиц).

Это задача на размещения.

1. Для первой цифры (цифра десятков) есть 6 вариантов выбора (любая из цифр \( {1, 2, 3, 4, 5, 6} \)).
2. Для второй цифры (цифра единиц) остается 5 вариантов выбора, так как цифры должны быть различными.

Общее количество таких двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

\[ A_6^2 = 6 \times 5 = 30 \]

Следовательно, существует 30 различных двузначных чисел с различными цифрами из данного набора.

Ответ: 30 чисел.