5. В каждую клетку квадратной таблицы 3 на 3 произвольно ставят крестик и нолик. Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?

Решение:

Квадратная таблица 3 на 3 состоит из \( 3 \times 3 = 9 \) клеток.

В каждую клетку можно поставить либо крестик (X), либо нолик (O). Это означает, что для каждой клетки есть 2 варианта заполнения.

Так как клетки независимы друг от друга, общее количество способов заполнить всю таблицу равно произведению числа вариантов для каждой клетки.

Общее количество способов:

\[ 2^9 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 512 \]

Следовательно, существует 512 способов заполнить эту таблицу.

Ответ: 512 способов.