7. Решить уравнение \( C_{x+2}^3 = 8(x+1) \)

Решение:

Дано уравнение: \( C_{x+2}^3 = 8(x+1) \)

Напомним формулу для сочетаний: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

В данном случае \( n = x+2 \) и \( k = 3 \). Для корректного определения сочетания необходимо, чтобы \( x+2 ≥ 3 \) и \( x+2 ≥ 0 \), что означает \( x ≥ 1 \).

Подставим значения в формулу:

\[ C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} \]\[ \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{6(x-1)!} = 8(x+1) \]

Сократим \( (x-1)! \) (при \( x ≥ 1 \)):

\[ \frac{(x+2)(x+1)x}{6} = 8(x+1) \]

Если \( x+1 = 0 \), то \( x = -1 \), что не удовлетворяет условию \( x ≥ 1 \). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на \( x+1 \) (при \( x ≥ 1 \) это возможно, так как \( x+1 ≥ 2 \)):

\[ \frac{(x+2)x}{6} = 8 \]\[ (x+2)x = 48 \]\[ x^2 + 2x = 48 \]\[ x^2 + 2x - 48 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-48) = 4 + 192 = 196 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Учитывая условие \( x ≥ 1 \), значение \( x_2 = -8 \) не подходит.

Проверим \( x = 6 \):

Левая часть: \( C_{6+2}^3 = C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \).

Правая часть: \( 8(6+1) = 8 \times 7 = 56 \).

Левая часть равна правой части. Следовательно, \( x = 6 \) является решением.

Ответ: x = 6.