3. Сторона AB треугольника ABC продолжена за точку B. На продолжении отмечена точка D так, что BC = BD. Найдите угол ACD, если ∠ACB = 60°, а ∠ABC = 50°.

Билет № 2, Задание 3

Дано:

• \( \triangle ABC \).
• Точка \( D \) на продолжении стороны \( AB \) за точку \( B \).
• \( BC = BD \).
• \( \angle ACB = 60^ \).
• \( \angle ABC = 50^ \).

Найти: \( \angle ACD \).

Решение:

1. Сначала найдем \( \angle BAC \) в \( \triangle ABC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^ \): \( \angle BAC = 180^ - \angle ABC - \angle ACB = 180^ - 50^ - 60^ = 70^ \).
2. Рассмотрим \( \triangle BCD \). Так как \( BC = BD \), то этот треугольник равнобедренный.
3. Углы при основании \( CD \) равны: \( \angle BCD = \angle BDC \).
4. Угол \( \angle ABC \) является внешним для \( \triangle BCD \) (если бы мы продолжили сторону CB). Но нам нужен угол \( \angle CBD \).
5. Угол \( \angle ABC \) и угол \( \angle CBD \) — смежные, их сумма равна \( 180^ \).
6. \( \angle CBD = 180^ - \angle ABC = 180^ - 50^ = 130^ \).
7. В равнобедренном \( \triangle BCD \) сумма углов равна \( 180^ \): \( \angle BCD + \angle BDC + \angle CBD = 180^ \).
8. \( 2 \cdot \angle BCD + 130^ = 180^ \).
9. \( 2 \cdot \angle BCD = 180^ - 130^ = 50^ \).
10. \( \angle BCD = \frac{50^}{2} = 25^ \).
11. Нам нужен угол \( \angle ACD \). Он состоит из \( \angle ACB \) и \( \angle BCD \).
12. \( \angle ACD = \angle ACB + \angle BCD = 60^ + 25^ = 85^ \).

Ответ: \( \angle ACD = 85^ \).