3. Сторона ХС прямоугольника ХСМО равна 210, а меньший угол между диагоналями 60°. Найдите радиус описанной около прямоугольника окружности.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Радиус описанной окружности равен половине диагонали.

1. Пусть \( AC \) и \( XM \) — диагонали прямоугольника \( XCMO \). Они пересекаются в точке \( O \).
2. \( AO = OC = XO = OM = R \) (радиус описанной окружности).
3. \( AC = 2R \).
4. Рассмотрим треугольник \( XOC \). \( XO = OC = R \), значит, треугольник \( XOC \) равнобедренный.
5. Угол \( XOC \) равен 60° (меньший угол между диагоналями).
6. Так как \( \angle XOC = 60° \) и треугольник \( XOC \) равнобедренный, то он равносторонний.
7. Следовательно, \( XC = XO = OC = R \).
8. По условию \( XC = 210 \), значит, \( R = 210 \).

Ответ: 210.