5. Стороны РВ, BR, RZ и PZ четырехугольника PBRZ относятся как a) 3:4:13:10 б) 45:66:23:2. Можно ли в него вписать окружность?

Решение:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных сторон равна.

1. Пусть стороны четырехугольника равны \( 3x, 4x, 13x, 10x \) (случай а).
2. Противоположные стороны: \( PB \) и \( RZ \), \( BR \) и \( PZ \).
3. \( PB + RZ = 3x + 13x = 16x \).
4. \( BR + PZ = 4x + 10x = 14x \).
5. Так как \( 16x \neq 14x \) (при \( x \neq 0 \)), окружность вписать нельзя.
6. Пусть стороны четырехугольника равны \( 45x, 66x, 23x, 2x \) (случай б).
7. \( PB + RZ = 45x + 23x = 68x \).
8. \( BR + PZ = 66x + 2x = 68x \).
9. Так как \( 68x = 68x \), окружность вписать можно.

Ответ: а) Нет, б) Да.