8. В равнобедренную трапецию OTRB (TR||ОВ) вписана окружность с центром К, CZ - высота трапеции, проходящая через точку К (точка С лежит на основании TR). Найдите угол OKZ, если ∠TOZ = 80°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В равнобедренной трапеции вписанная окружность касается всех сторон. Центр окружности лежит на оси симметрии трапеции.

1. Так как трапеция равнобедренная и в нее вписана окружность, то \( OT = RB \).
2. Высота \( CZ \) проходит через центр окружности \( K \).
3. \( K \) — центр окружности, \( Z \) — точка касания на основании \( TR \). \( KZ \) — радиус окружности.
4. \( O \) — вершина трапеции. \( ZO \) — отрезок от вершины до точки касания на основании.
5. В равнобедренной трапеции \( \angle TOZ = \angle ROZ = 80° / 2 = 40° \).
6. \( \triangle KOZ \) — прямоугольный, так как \( KZ \) — радиус, а \( Z \) — точка касания. \( \angle KZC = 90° \).
7. \( \angle OZK = \angle TOZ = 40° \) (как накрест лежащие углы при параллельных \( TR \) и \( OZ \) и секущей \( TZ \)).
8. В прямоугольном \( \triangle KOZ \): \( \angle OKZ + \angle OZK = 90° \).
9. \( \angle OKZ = 90° - \angle OZK \).
10. \( \angle OKZ = 90° - 40° = 50° \).

Ответ: 50°.