3. Существуют ли 3 натуральных числа, попарные суммы которых равны а) 116, 117, 118; б) 117, 118, 119?

Пусть числа — \(x\), \(y\), \(z\). Если их попарные суммы равны \(a\), \(b\), \(c\), то одно из чисел равно половине выражения \(a+b-c\). Проверим оба набора.

а) Получаем \(x = (116 + 117 - 118) / 2 = 57.5\). Это не натуральное число, поэтому такой тройки не существует.

б) Получаем числа \(58\), \(59\), \(60\): \(58+59=117\), \(58+60=118\), \(59+60=119\). Такая тройка существует.

Ответ: а) нет; б) да, например, 58, 59 и 60.