4. На доске было написано число 1. За одно действие Вася мог удвоить написанное на доске число или переставить местами его цифры. Могло ли получиться так, что через несколько таких действий на доске оказалось число 114?

Да. Можно получить 114, выполняя только удвоение:

\(1 \to 2 \to 4 \to 8 \to 16 \to 32 \to 64 \to 128 \to 256 \to 512 \to 1024 \to 2048 \to 4096 \to 8192 \to 16384 \to 32768 \to 65536 \to 131072 \to 262144 \to 524288 \to 1048576 \to 2097152 \to 4194304 \to 8388608 \to 16777216 \to 33554432 \to 67108864 \to 134217728 \to 268435456 \to 536870912 \to 1073741824\).

Однако эта цепочка не даёт 114; вместо неё можно проверить достижимость обратным ходом: при движении от 114 разрешено делить чётное число на 2 или переставлять цифры. В частности, \(114 \to 411\), но далее ни одно из обратных действий не приводит к 1. Значит, 114 получить нельзя.

Ответ: нет.