3. Тип 13 № 4013. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ∠ACB = 75°. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX = 20.

Так как AB = BC, углы, лежащие напротив этих сторон, равны: ∠BAC = ∠ACB = 75°. Тогда ∠ABC = 30°.

Из AX = BX следует, что ∠BAX = ∠ABX. Поскольку X лежит на BC, ∠ABX = ∠ABC = 30°. По условию ∠YAX = 30°.

В треугольнике ABX угол AXB равен 180° − 30° − 30° = 120°. Поскольку XY продолжает XA, ∠AXY = 60°. Значит, в треугольнике AXY третий угол ∠AYX равен 90°.

Треугольник AXY — прямоугольный, AX = 20 — гипотенуза, а AY лежит напротив угла 60°. Поэтому AY = AX · sin 60° = 20 · √3/2 = 10√3.

Ответ: 10√3.