4. Тип 13 № 4032. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ∠ACB = 75°. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX = 24.

Так как AB = BC, то ∠BAC = ∠ACB = 75°, а ∠ABC = 30°.

Из AX = BX следует, что ∠BAX = ∠ABX = 30°. По условию ∠YAX = 30°. В треугольнике ABX угол AXB равен 120°, поэтому ∠AXY = 60°, так как XA и XY — противоположные лучи.

Тогда ∠AYX = 90°. В прямоугольном треугольнике AXY гипотенуза AX = 24, следовательно, AY = 24 · sin 60° = 12√3.

Ответ: 12√3.