3. Тип 3 № 7218 Сумма двух натуральных чисел равна 28, а сумма квадратов этих чисел равна 394. Найдите эти числа. В ответе укажите найденные числа без пробелов в порядке возрастания.

Решение:

1. Обозначим числа: Пусть два натуральных числа будут $$x$$ и $$y$$.
2. Запишем условия в виде уравнений:
   • Сумма чисел: $$x + y = 28$$.
   • Сумма квадратов: $$x^2 + y^2 = 394$$.
3. Выразим одно число через другое: Из первого уравнения выразим $$y$$:
   • $$y = 28 - x$$.
4. Подставим во второе уравнение: Теперь подставим это выражение для $$y$$ во второе уравнение:
   • $$x^2 + (28 - x)^2 = 394$$.
5. Раскроем скобки и упростим:
   • $$x^2 + (28^2 - 2 imes 28 imes x + x^2) = 394$$.
   • $$x^2 + (784 - 56x + x^2) = 394$$.
   • $$2x^2 - 56x + 784 = 394$$.
   • $$2x^2 - 56x + 784 - 394 = 0$$.
   • $$2x^2 - 56x + 390 = 0$$.
6. Разделим уравнение на 2:
   • $$x^2 - 28x + 195 = 0$$.
7. Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $$D = b^2 - 4ac$$:
   • $$a=1, b=-28, c=195$$.
   • $$D = (-28)^2 - 4 imes 1 imes 195 = 784 - 780 = 4$$.
   • \[ \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \]
8. Найдем $$x$$:
   • \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-28) + 2}{2 \times 1} = \frac{28 + 2}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]
   • \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-28) - 2}{2 \times 1} = \frac{28 - 2}{2} = \frac{26}{2} = 13 \]
9. Найдем $$y$$ для каждого $$x$$:
   • Если $$x = 15$$, то $$y = 28 - 15 = 13$$.
   • Если $$x = 13$$, то $$y = 28 - 13 = 15$$.
10. Проверим:
    • $$13 + 15 = 28$$ (верно)
    • $$13^2 + 15^2 = 169 + 225 = 394$$ (верно)
11. Запишем числа в порядке возрастания: 13, 15.

Ответ: 1315