3. Точки A и C симметричны относительно прямой a и \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Могут ли точки B и D быть: а) симметричными относительно прямой a; б) несимметричными относительно прямой a?

Из равенства векторов следует \(\vec b+\vec d=\vec a+\vec c\). Поэтому середина BD совпадает с серединой AC. Так как A и C симметричны относительно прямой a, середина AC лежит на a.

а) Могут. Возьмём B и D симметричными относительно a с серединой BD на этой прямой. Тогда \(\vec b+\vec d=\vec a+\vec c\), и условие о векторах выполняется.

б) Могут. Например, пусть a — ось y, A=(1,0), C=(-1,0), B=(1,1), D=(-1,-1). Тогда A и C симметричны относительно a, а середины AC и BD совпадают, поэтому \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Но отражение B относительно a — точка (-1,1), а не D.

Ответ: и в случае а), и в случае б) — да.