№3. Упростите выражение 1) a^4 \(\cdot\) (a^3)^3; 2) \(\frac{(x^3)^6 \cdot x^4}{x^{18}}\); 3) x^3 \(\cdot\) (x^3)^4; 4) \(\frac{(x^4)^4 \cdot x^2}{x^{12}}\)

Решение:

Используем свойства степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1) \( a^4 \cdot (a^3)^3 \)

1. \( a^4 \cdot a^{3 \cdot 3} = a^4 \cdot a^9 \)
2. \( a^{4+9} = a^{13} \)

2) \( \frac{(x^3)^6 \cdot x^4}{x^{18}} \)

1. \( \frac{x^{3 \cdot 6} \cdot x^4}{x^{18}} = \frac{x^{18} \cdot x^4}{x^{18}} \)
2. \( \frac{x^{18+4}}{x^{18}} = \frac{x^{22}}{x^{18}} \)
3. \( x^{22-18} = x^4 \)

3) \( x^3 \cdot (x^3)^4 \)

1. \( x^3 \cdot x^{3 \cdot 4} = x^3 \cdot x^{12} \)
2. \( x^{3+12} = x^{15} \)

4) \( \frac{(x^4)^4 \cdot x^2}{x^{12}} \)

1. \( \frac{x^{4 \cdot 4} \cdot x^2}{x^{12}} = \frac{x^{16} \cdot x^2}{x^{12}} \)
2. \( \frac{x^{16+2}}{x^{12}} = \frac{x^{18}}{x^{12}} \)
3. \( x^{18-12} = x^6 \)

Ответ: 1) \( a^{13} \); 2) \( x^4 \); 3) \( x^{15} \); 4) \( x^6 \).