3. Упростите выражение a^-11 * a^4 / a^-3 и найдите его значение при a = 1/2. В ответе запишите число.

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) и \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \):

\( \frac{a^{-11} \cdot a^4}{a^{-3}} = \frac{a^{-11+4}}{a^{-3}} = \frac{a^{-7}}{a^{-3}} = a^{-7 - (-3)} = a^{-7+3} = a^{-4} \).

Теперь подставим значение \( a = \frac{1}{2} \):

\( a^{-4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{-4} \).

Отрицательная степень означает, что нужно взять обратную дробь и возвести в положительную степень:

\( \left( \frac{1}{2} \right)^{-4} = \left( \frac{2}{1} \right)^{4} = 2^4 \).

Вычислим \( 2^4 \):

\( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \).

Ответ: 16