3. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a+1}{4a^2-1}+\frac{1}{2-4a}\right)^2\cdot\frac{16a^4+1-8a^2}{8}$; б) $\left(\frac{a+1}{2a-2}+\frac{6}{2a^2-2}-\frac{a+3}{2a+2}\right)\cdot\frac{4a^2-4}{3}$; в) $\left(\frac{b}{a^2-ab}+\frac{a}{ab-a^2}\right):\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)$; г) $\frac{x-y}{6y}\cdot\frac{12y^2}{xy-x^2}+\frac{3}{x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a+1}{4a^2-1}+\frac{1}{2-4a}\right)^2\cdot\frac{16a^4+1-8a^2}{8}$; б)…$ Фото задания

3. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a+1}{4a^2-1}+\frac{1}{2-4a}\right)^2\cdot\frac{16a^4+1-8a^2}{8}$; б) $\left(\frac{a+1}{2a-2}+\frac{6}{2a^2-2}-\frac{a+3}{2a+2}\right)\cdot\frac{4a^2-4}{3}$; в) $\left(\frac{b}{a^2-ab}+\frac{a}{ab-a^2}\right):\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)$; г) $\frac{x-y}{6y}\cdot\frac{12y^2}{xy-x^2}+\frac{3}{x}$.

Accepted Answer

а) Используем разложения $4a^2-1=(2a-1)(2a+1)$, $2-4a=-2(2a-1)$ и $16a^4+1-8a^2=(4a^2-1)^2$:

$\frac{a+1}{4a^2-1}+\frac{1}{2-4a}=\frac{1-2a-4a^2}{2(2a-1)(2a+1)}$.

После возведения в квадрат и сокращения с множителем $(4a^2-1)^2$ получаем $\frac{(1-2a-4a^2)^2}{32}$.

б) Приводим выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{a+1}{2a-2}+\frac{6}{2a^2-2}-\frac{a+3}{2a+2}=\frac{(a+1)^2+6-(a+3)(a-1)}{2(a^2-1)}=\frac{5}{a^2-1}$.

Тогда $\frac{5}{a^2-1}\cdot\frac{4(a^2-1)}{3}=\frac{20}{3}$.

в) Так как $ab-a^2=-a(a-b)$, выражение в первой скобке равно $\frac{b}{a(a-b)}-\frac{1}{a-b}=-\frac1a$. Кроме того, $\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$. Поэтому результат деления равен $-\frac{ab^2}{a^2+b^2}$.

г) Учитываем, что $xy-x^2=-x(x-y)$:

$\frac{x-y}{6y}\cdot\frac{12y^2}{xy-x^2}+\frac3x=-\frac{2y}{x}+\frac3x=\frac{3-2y}{x}$.

Ответ: а) $\frac{(1-2a-4a^2)^2}{32}$; б) $\frac{20}{3}$; в) $-\frac{ab^2}{a^2+b^2}$; г) $\frac{3-2y}{x}$.