№ 3. В окружности с центром О проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠ BAC=∠ BAD(рис.63). Докажите, что AC=AD.

Решение:

Дано: Окружность с центром \( O \), \( AB \) — диаметр. Хорды \( AC \) и \( AD \). \( ∠ BAC = ∠ BAD \).

Доказать: \( AC = AD \).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( △ ABC \) и \( △ ABD \).
2. Поскольку \( AB \) — диаметр окружности, то вписанные углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми. Следовательно, \( ∠ ACB = 90^\circ \) и \( ∠ ADB = 90^\circ \).
3. Таким образом, \( △ ABC \) и \( △ ABD \) — прямоугольные треугольники.
4. По условию задачи дано, что \( ∠ BAC = ∠ BAD \).
5. Общая сторона \( AB \) является гипотенузой для обоих прямоугольных треугольников.
6. По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (второй признак), если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
7. Следовательно, \( △ ABC = △ ABD \) по гипотенузе \( AB \) и острому углу \( ∠ BAC = ∠ BAD \).
8. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Значит, \( AC = AD \).

Доказано.