№ 3. В окружности с центром О проведены хорды AC и AD так, что ∠ BAC=∠ BAD(рис.63). Докажите, что AC=AD.

Решение:

Дано: Окружность с центром \( O \). Хорды \( AC \) и \( AD \). \( ∠ BAC = ∠ BAD \).

Доказать: \( AC = AD \).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( △ OAC \) и \( △ OAD \).
2. \( OA \) — радиус окружности. Следовательно, \( OA = OC = OD \) (как радиусы).
3. Треугольники \( △ OAC \) и \( △ OAD \) являются равнобедренными, так как \( OA = OC \) и \( OA = OD \).
4. Углы \( ∠ BAC \) и \( ∠ BAD \) равны по условию.
5. Угол \( ∠ BAC \) является углом при основании \( AC \) в равнобедренном треугольнике \( △ OAC \).
6. Угол \( ∠ BAD \) является углом при основании \( AD \) в равнобедренном треугольнике \( △ OAD \).
7. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
8. Рассмотрим углы \( ∠ AOC \) и \( ∠ AOD \). Это центральные углы, опирающиеся на дуги \( ¯{AC} \) и \( ¯{AD} \) соответственно.
9. Угол \( ∠ BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( ¯{BC} \). \( ∠ BAC = ½ ¯{BC} \).
10. Угол \( ∠ BAD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( ¯{BD} \). \( ∠ BAD = ½ ¯{BD} \).
11. Поскольку \( ∠ BAC = ∠ BAD \), то и дуги, на которые они опираются, равны: \( ¯{BC} = ¯{BD} \).
12. Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, \( AC = AD \).

Доказано.