3. В окружности с центром в точке O отрезки АС и BD — диаметры. Угол AOD равен 108°. Найдите угол ACB.

Решение:

• Углы AOD и BOC — вертикальные, поэтому ∠BOC = ∠AOD = 108°.
• Угол BOC — центральный, опирающийся на дугу BC. Следовательно, дуга BC = 108°.
• Угол BAC — вписанный, опирающийся на дугу BC. Поэтому ∠BAC = дуга BC / 2 = 108° / 2 = 54°.
• Угол AOD и AOC — смежные, их сумма равна 180°. Поэтому ∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 108° = 72°.
• Угол AOC — центральный, опирающийся на дугу AC. Следовательно, дуга AC = 72°.
• Угол ABC — вписанный, опирающийся на дугу AC. Поэтому ∠ABC = дуга AC / 2 = 72° / 2 = 36°.
• Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.
• ∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 54° - 36° = 90°.

Ответ: 90°