8. Точки X, Y и Z лежат на окружности с центром Q, причём дуги XY, YZ и ZX относятся соответственно как 2:5:3. Найдите величины углов треугольника XYZ

Решение:

• Общая сумма градусов в окружности равна 360°.
• Пусть дуги XY, YZ и ZX относятся как 2x, 5x и 3x.
• 2x + 5x + 3x = 360°.
• 10x = 360°.
• x = 36°.
• Дуга XY = 2 * 36° = 72°.
• Дуга YZ = 5 * 36° = 180°.
• Дуга ZX = 3 * 36° = 108°.
• Угол XYZ — вписанный угол, опирающийся на дугу XZ. ∠XYZ = Дуга XZ / 2 = 108° / 2 = 54°.
• Угол YZX — вписанный угол, опирающийся на дугу XY. ∠YZX = Дуга XY / 2 = 72° / 2 = 36°.
• Угол ZXY — вписанный угол, опирающийся на дугу YZ. ∠ZXY = Дуга YZ / 2 = 180° / 2 = 90°.
• Проверка: 54° + 36° + 90° = 180°.

Ответ: Углы треугольника XYZ равны 54°, 36°, 90°.