3. В параллелограмме ABCD на стороне AB отмечена точка K так, что AK:KB=2:1, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы OC, AK, DK, BD, AO через векторы \(\vec{a}=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec{b}=\overrightarrow{AD}\).

Положим точку A за начало отсчёта. Тогда \(B=\vec{a}\), \(D=\vec{b}\), \(C=\vec{a}+\vec{b}\). Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(O= frac12(\vec{a}+\vec{b})\). Из отношения \(AK:KB=2:1\) следует \(K= frac23\vec{a}\).

1. \(\overrightarrow{OC}=C-O= frac12\vec{a}+ frac12\vec{b}\).
2. \(\overrightarrow{AK}=K-A= frac23\vec{a}\).
3. \(\overrightarrow{DK}=K-D= frac23\vec{a}-\vec{b}\).
4. \(\overrightarrow{BD}=D-B=\vec{b}-\vec{a}\).
5. \(\overrightarrow{AO}=O-A= frac12\vec{a}+ frac12\vec{b}\).

Ответ: \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}= frac12(\vec{a}+\vec{b})\), \(\overrightarrow{AK}= frac23\vec{a}\), \(\overrightarrow{DK}= frac23\vec{a}-\vec{b}\), \(\overrightarrow{BD}=\vec{b}-\vec{a}\).