3. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса AK, которая делит сторону BC на отрезки равные 7см и 3 см. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Задание 3. Периметр параллелограмма

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• AK — биссектриса.
• BC разделена на отрезки 7 см и 3 см.

Найти: Периметр параллелограмма ABCD.

Решение:

1. Поскольку AK — биссектриса угла A, то \( \angle BAK = \angle KAD \).
2. В параллелограмме стороны параллельны, поэтому \( BC \parallel AD \). Следовательно, \( \angle BAK = \angle AKD \) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AK.
3. Из равенства \( \angle BAK = \angle KAD \) и \( \angle BAK = \angle AKD \) следует, что \( \angle KAD = \angle AKD \).
4. Треугольник ABK является равнобедренным (так как углы при основании AK равны), поэтому \( AB = BK \).
5. Сторона BC разделена биссектрисой AK на отрезки BK и KC. У нас есть два варианта:
• Вариант 1: \( BK = 7 \) см и \( KC = 3 \) см. Тогда \( BC = BK + KC = 7 + 3 = 10 \) см. Так как \( AB = BK \), то \( AB = 7 \) см.
• Вариант 2: \( BK = 3 \) см и \( KC = 7 \) см. Тогда \( BC = BK + KC = 3 + 7 = 10 \) см. Так как \( AB = BK \), то \( AB = 3 \) см.
6. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \( AD = BC \) и \( AB = DC \).
7. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле: \( P = 2(AB + BC) \).
8. Рассмотрим Вариант 1: \( AB = 7 \) см, \( BC = 10 \) см. Периметр \( P = 2(7 + 10) = 2(17) = 34 \) см.
9. Рассмотрим Вариант 2: \( AB = 3 \) см, \( BC = 10 \) см. Периметр \( P = 2(3 + 10) = 2(13) = 26 \) см.
10. Обычно, когда биссектриса делит сторону, больший отрезок находится ближе к большей стороне. Если принять, что точка K ближе к C (отрезок KC=3), то BK=7, тогда AB=7. BC=10. Периметр=2(7+10)=34. Если точка K ближе к B (отрезок BK=3), то KC=7. Тогда AB=3. BC=10. Периметр=2(3+10)=26. В условии не указано, какой именно отрезок больше, но стандартно указывают больший отрезок первым. Поэтому наиболее вероятный ответ - 34 см.

Ответ: 34