5. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 48 см и 20 см.

Задание 5. Сторона и площадь ромба

Дано:

• Ромб.
• Диагональ \( d_1 = 48 \) см.
• Диагональ \( d_2 = 20 \) см.

Найти: Сторону ромба \( a \) и площадь ромба \( S \).

Решение:

1. Площадь ромба: Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
• \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]
• \[ S = \frac{1}{2} \times 48 \text{ см} \times 20 \text{ см} \]
• \[ S = \frac{1}{2} \times 960 \text{ см}^2 \]
• \[ S = 480 \text{ см}^2 \]
2. Сторона ромба: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Это значит, что они разбивают ромб на 4 равных прямоугольных треугольника. Катетами каждого такого треугольника являются половины диагоналей, а гипотенузой — сторона ромба.
• Половина первой диагонали: \( \frac{d_1}{2} = \frac{48 \text{ см}}{2} = 24 \text{ см} \).
• Половина второй диагонали: \( \frac{d_2}{2} = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см} \).
• Используем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников:
• \[ a^2 = \bigg(\frac{d_1}{2}\bigg)^2 + \bigg(\frac{d_2}{2}\bigg)^2 \]
• \[ a^2 = (24 \text{ см})^2 + (10 \text{ см})^2 \]
• \[ a^2 = 576 \text{ см}^2 + 100 \text{ см}^2 \]
• \[ a^2 = 676 \text{ см}^2 \]
• \[ a = \sqrt{676 \text{ см}^2} \]
• \[ a = 26 \text{ см} \]

Ответ: Сторона ромба 26 см, площадь 480 см².