4. Хорды AC и BC окружности делят ее на дуги АС, ВС, АВ в отношении 3:5:10. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вся окружность составляет 360 градусов.

Дуги окружности, на которые делят ее хорды AC и BC, относятся как 3:5:10. Это означает, что мы можем представить длины дуг как \( 3x \), \( 5x \) и \( 10x \).

Сумма этих частей равна полной окружности:

\( 3x + 5x + 10x = 360^{\circ} \)

\( 18x = 360^{\circ} \)

\( x = \frac{360^{\circ}}{18} = 20^{\circ} \)

Теперь найдем длины дуг:

Дуга AC = \( 3x = 3 \cdot 20^{\circ} = 60^{\circ} \)

Дуга BC = \( 5x = 5 \cdot 20^{\circ} = 100^{\circ} \)

Дуга AB = \( 10x = 10 \cdot 20^{\circ} = 200^{\circ} \)

Угол АСВ — вписанный угол, который опирается на дугу АВ.

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуга } AB \)

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 200^{\circ} = 100^{\circ} \)

Ответ: 100