3. В прямоугольной трапеции АВСД, меньшая боковая сторона АВ=10 см, большее основание АД= 18 см, угол Д=45°. Найдите площадь трапеции.

Задание 3. Площадь прямоугольной трапеции

Дано:

• Прямоугольная трапеция АВСД.


• Меньшая боковая сторона \( AB = 10 \) см (так как трапеция прямоугольная, \( AB \) является высотой).


• Большее основание \( AD = 18 \) см.


• Угол \( \angle D = 45^\circ \).

Найти: Площадь трапеции \( S \).

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]

где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

В данной трапеции:

• Большее основание \( AD = 18 \) см.


• Высота \( h = AB = 10 \) см.

Нам нужно найти длину меньшего основания \( BC \).

Проведем из вершины \( C \) перпендикуляр \( CK \) к основанию \( AD \). Тогда \( ABCK \) будет прямоугольником, и \( CK = AB = 10 \) см, а \( AK = BC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( CKD \). Угол \( \angle D = 45^\circ \) и \( \angle CKD = 90^\circ \). Следовательно, \( \angle KCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \). Треугольник \( CKD \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, значит, \( CK = KD \).

Так как \( CK = 10 \) см, то \( KD = 10 \) см.

Теперь найдем отрезок \( AK \):

\[ AK = AD - KD = 18 - 10 = 8 \] см.

Так как \( AK = BC \), то меньшее основание \( BC = 8 \) см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции:

\[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB \]

\[ S = \frac{18 + 8}{2} \cdot 10 \]

\[ S = \frac{26}{2} \cdot 10 \]

\[ S = 13 \cdot 10 = 130 \] см².

Ответ: Площадь трапеции равна 130 см².