5. Дан прямоугольный треугольник ADC, у которого ∠D-прямой, катет AD-4 см и ∠DAC-30°. Найдите: а) остальные стороны AADC б) площадь AADC в) длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Задание 5. Прямоугольный треугольник ADC

Дано:

• Прямоугольный треугольник ADC.


• \( \angle D = 90^\circ \).


• Катет \( AD = 4 \) см.


• \( \angle DAC = 30^\circ \).

Найти:

• а) Остальные стороны (AC и CD).


• б) Площадь треугольника (S).


• в) Длину высоты, проведенной к гипотенузе (h).

Решение:

а) Остальные стороны:

Мы имеем прямоугольный треугольник, известный катет \( AD \) и прилежащий к нему острый угол \( \angle DAC \). Используем тригонометрические соотношения:

1. Найдем гипотенузу \( AC \) (она прилежит к углу \( 30^\circ \)):

\[ \cos(\angle DAC) = \frac{AD}{AC} \]

\[ \cos(30^\circ) = \frac{4}{AC} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{AC} \]

\[ AC = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \] см.

2. Найдем катет \( CD \) (он противолежит углу \( 30^\circ \)):

\[ \tan(\angle DAC) = \frac{CD}{AD} \]

\[ \tan(30^\circ) = \frac{CD}{4} \]

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CD}{4} \]

\[ CD = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \] см.

б) Площадь треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} \]

\[ S = 2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \] см².

в) Длина высоты, проведенной к гипотенузе:

Площадь треугольника также можно выразить как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \]

Мы знаем площадь \( S \) и гипотенузу \( AC \). Выразим \( h \):

\[ h = \frac{2S}{AC} \]

\[ h = \frac{2 \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}} \]

\[ h = 2 \] см.

Ответ:

• а) Остальные стороны: гипотенуза \( AC = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см, катет \( CD = \frac{4\sqrt{3}}{3} \) см.


• б) Площадь треугольника \( S = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см².


• в) Длина высоты, проведенной к гипотенузе, \( h = 2 \) см.