8. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. Расстояние от точки О до прямой АВ равно 6 см, ∠AOC = 90°, ∠OBC = 15°. Найдите: а) угол АВО; б) радиус окружности.

Задание 8. Окружность около треугольника ABC

Дано:

• Остроугольный треугольник ABC.


• Описана окружность с центром O.


• Расстояние от O до AB равно 6 см (это высота из O к AB, назовем точку пересечения K).


• \( \angle AOC = 90^\circ \).


• \( \angle OBC = 15^\circ \).

Найти:

• а) \( \angle ABO \)


• б) Радиус окружности (R).

Решение:

б) Радиус окружности:

Рассмотрим треугольник AOK. \( OK = 6 \) см. \( OA \) — радиус окружности \( R \). \( \angle AKO = 90^\circ \). \( \angle AOK \) — центральный угол, соответствующий дуге AC. Мы знаем, что \( \angle AOC = 90^\circ \). Это значит, что дуга AC равна 90°.

Вписанный угол \( \angle ABC \) опирается на дугу AC. Центральный угол \( \angle AOC = 90^\circ \) также опирается на дугу AC. Следовательно, \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \).

Теперь рассмотрим треугольник OBC. Он равнобедренный, так как OB = OC = R (радиусы). Следовательно, \( \angle OCB = \angle OBC = 15^\circ \).

Сумма углов в треугольнике ABC:

\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ \]

Мы знаем \( \angle ABC = 45^\circ \). Нам нужно найти \( \angle BCA \).

\[ \angle BCA = \angle OCB + \angle OCA \]

Нам нужно найти \( \angle OCA \).

Рассмотрим треугольник AOC. Он равнобедренный (OA = OC = R). Угол \( \angle AOC = 90^\circ \). Следовательно, \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).

Теперь мы можем найти \( \angle BCA \):

\[ \angle BCA = \angle OCB + \angle OCA = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ \]

Теперь найдем \( \angle BAC \):

\[ \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \]

Теперь вернемся к треугольнику AOK. \( \angle OAK = \angle BAC = 75^\circ \). \( OK = 6 \) см. \( OA = R \).

\[ \sin(\angle OAK) = \frac{OK}{OA} \]

\[ \sin(75^\circ) = \frac{6}{R} \]

\[ R = \frac{6}{\sin(75^\circ)} \]

Вычислим \( \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).

\[ R = \frac{6}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{24}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{24(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{24(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{24(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] см.

а) Угол АВО:

Рассмотрим треугольник OAB. Он равнобедренный, так как OA = OB = R.

Нам нужно найти \( \angle ABO \).

Мы знаем, что \( \angle OAB = 75^\circ \) и \( \angle ABC = 45^\circ \).

В равнобедренном треугольнике OAB:

\[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \]

Нам нужно найти \( \angle AOB \).

Угол AOB — центральный угол, соответствующий дуге AB. Вписанный угол, опирающийся на дугу AB, — это \( \angle ACB \). Мы знаем \( \angle ACB = 60^\circ \). Значит, дуга AB равна \( 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \). Тогда \( \angle AOB = 120^\circ \).

Теперь найдем \( \angle OBA \) (что то же самое, что \( \angle ABO \)):

\[ 2 \cdot \angle ABO + 120^\circ = 180^\circ \]

\[ 2 \cdot \angle ABO = 180^\circ - 120^\circ \]

\[ 2 \cdot \angle ABO = 60^\circ \]

\[ \angle ABO = 30^\circ \]

Ответ:

• а) Угол АВО равен 30°.


• б) Радиус окружности равен \( 6(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \) см.