3. В школе 58 учащихся изучают английский язык, 46 – французский, 39 – испанский, 19 – и английский, и французский, 16 – и английский, и испанский, 11 – и французский, и испанский. Сколько учащихся изучают все три языка, если число учащихся, изучающих хотя бы один из этих языков, равно 100?

Решение:

Обозначим:

• A — множество учащихся, изучающих английский язык. \( |A| = 58 \).
• F — множество учащихся, изучающих французский язык. \( |F| = 46 \).
• S — множество учащихся, изучающих испанский язык. \( |S| = 39 \).
• \( |A \cap F| = 19 \) (английский и французский).
• \( |A \cap S| = 16 \) (английский и испанский).
• \( |F \cap S| = 11 \) (французский и испанский).
• \( |A \cup F \cup S| = 100 \) (хотя бы один язык).

Нам нужно найти \( |A \cap F \cap S| \) (все три языка).

Используем формулу включений-исключений для трех множеств:

\[ |A \cup F \cup S| = |A| + |F| + |S| - |A \cap F| - |A \cap S| - |F \cap S| + |A \cap F \cap S| \]

Подставим известные значения:

\[ 100 = 58 + 46 + 39 - 19 - 16 - 11 + |A \cap F \cap S| \]

Сначала сложим числа:

\[ 58 + 46 + 39 = 143 \]

Теперь вычтем числа, соответствующие пересечениям двух множеств:

\[ 19 + 16 + 11 = 46 \]

Подставляем обратно в формулу:

\[ 100 = 143 - 46 + |A \cap F \cap S| \]

\[ 100 = 97 + |A \cap F \cap S| \]

Находим \( |A \cap F \cap S| \):

\[ |A \cap F \cap S| = 100 - 97 \]

\[ |A \cap F \cap S| = 3 \]

Ответ: 3 учащихся изучают все три языка.