3. В треугольнике АВС известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 8. Найдите площадь треугольника АВС.

Дано:

• Треугольник ABC.
• DE - средняя линия.
• \(
  olimits\) S_{CDE} = 8

Найти:

• \(
  olimits\) S_{ABC}

Решение:

1. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Пусть D — середина AC, а E — середина BC.
2. Средняя линия DE параллельна третьей стороне AB и равна ее половине: \(
   olimits\) DE = \(\frac{1}{2}\) AB.
3. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB.
4. Коэффициент подобия \(
   olimits\) k = \(\frac{CD}{CA}\) = \(\frac{CE}{CB}\) = \(\frac{DE}{AB}\) = \(\frac{1}{2}\).
5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
6. \(
   olimits\) \(\frac\){S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 = \(\left\)\(\frac{1}{2}\right\)^2 = \(\frac{1}{4}\)
7. \(
   olimits\) S_{CAB} = 4 \(
   olimits\) \(\times\) S_{CDE}
8. \(
   olimits\) S_{CAB} = 4 \(\times\) 8 = 32

Ответ: 32