5. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 16√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Дано:

• Квадрат.
• Радиус описанной окружности \(
  olimits\) R = 16\(\sqrt{2}\).

Найти:

• Сторона квадрата (a).

Решение:

1. Радиус описанной окружности, проведенный к вершине квадрата, является половиной диагонали квадрата.
2. \(
   olimits\) R = \(\frac{d}{2}\), где d - диагональ квадрата.
3. \(
   olimits\) d = 2R = 2 \(\times\) 16\(\sqrt{2}\) = 32\(\sqrt{2}\).
4. В прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами квадрата и его диагональю, диагональ является гипотенузой. По теореме Пифагора:
5. \(
   olimits\) a^2 + a^2 = d^2
6. \(
   olimits\) 2a^2 = \(32\sqrt{2}\)^2
7. \(
   olimits\) 2a^2 = 32^2 \(\times\) \(\sqrt{2}\)^2 = 1024 \(\times\) 2 = 2048
8. \(
   olimits\) a^2 = \(\frac{2048}{2}\) = 1024
9. \(
   olimits\) a = \(\sqrt{1024}\) = 32

Ответ: 32