3. В треугольнике АВС отмечены середины М и N сторон ВС и АС соответственно. Площадь треугольника CNM равна 89. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

Решение:

Поскольку M и N — середины сторон ВС и АС соответственно, то MN является средней линией треугольника АВС. Средняя линия параллельна основанию и равна его половине.

Треугольник CNM подобен треугольнику CBA. Коэффициент подобия равен \( k = \frac{CN}{CA} = \frac{1}{2} \) (так как N — середина AC) и \( k = \frac{CM}{CB} = \frac{1}{2} \) (так как M — середина BC).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\( \frac{S_{CNM}}{S_{CBA}} = k^2 \)

\( \frac{89}{S_{CBA}} = (\frac{1}{2})^2 \)

\( \frac{89}{S_{CBA}} = \frac{1}{4} \)

\( S_{CBA} = 89 \cdot 4 = 356 \) кв. ед.

Площадь четырехугольника ABMN равна разности площади треугольника ABC и площади треугольника CNM:

\( S_{ABMN} = S_{CBA} - S_{CNM} \)

\( S_{ABMN} = 356 - 89 = 267 \) кв. ед.

Ответ: 267 кв. ед.