3. В треугольнике АВС отмечены середины M и N сторон ВС и АС соответственно. Площадь треугольника CNM равна 1. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

Задание 3. Площадь четырёхугольника

Дано:

• \( \triangle ABC \)
• \( M \) — середина \( BC \)
• \( N \) — середина \( AC \)
• Площадь \( \triangle CNM = 1 \)

Найти: Площадь четырёхугольника \( ABMN \)

Решение:

Отрезки \( MN \) соединяют середины сторон \( AC \) и \( BC \) треугольника \( \triangle ABC \). Следовательно, \( MN \) является средней линией треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине основания. В данном случае, \( MN \) параллельна \( AB \) и \( MN = \frac{1}{2} AB \).

Также, \( CN = \frac{1}{2} AC \) и \( CM = \frac{1}{2} BC \).

Треугольник \( \triangle CNM \) подобен треугольнику \( \triangle CAB \) по двум сторонам и углу между ними (угол \( C \) общий, а стороны \( CN \) и \( CM \) в два раза меньше \( CA \) и \( CB \) соответственно).

Коэффициент подобия \( k = \frac{CN}{CA} = \frac{CM}{CB} = \frac{MN}{AB} = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{CNM}}{S_{CAB}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

Так как площадь \( \triangle CNM = 1 \), то площадь \( \triangle CAB \) равна:

\[ S_{CAB} = 4 × S_{CNM} = 4 × 1 = 4 \]

Площадь четырёхугольника \( ABMN \) равна разности площади большого треугольника \( \triangle CAB \) и площади маленького треугольника \( \triangle CNM \):

\[ S_{ABMN} = S_{CAB} - S_{CNM} = 4 - 1 = 3 \]

Ответ: 3