5. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 24°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Задание 5. Касательные к окружности

Дано:

• Окружность с центром \( O \).
• Касательные в точках \( A \) и \( B \) пересекаются под углом \( 24^\circ \).

Найти: \( \angle ABO \)

Решение:

Пусть точки касания — \( A \) и \( B \). Пусть касательные пересекаются в точке \( P \). Тогда \( \angle APB = 24^\circ \).

Рассмотрим четырёхугольник \( \triangle OAPB \).

По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, \( \angle OAP = 90^\circ \) и \( \angle OBP = 90^\circ \).

Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^\circ \). Поэтому:

\[ \angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^\circ \]

\[ \angle AOB + 90^\circ + 24^\circ + 90^\circ = 360^\circ \]

\[ \angle AOB + 204^\circ = 360^\circ \]

\[ \angle AOB = 360^\circ - 204^\circ = 156^\circ \]

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle OAB \). \( OA \) и \( OB \) — радиусы окружности, поэтому \( OA = OB \). Следовательно, \( \triangle OAB \) — равнобедренный треугольник.

Углы при основании \( AB \) равны:

\[ \angle OAB = \angle OBA \]

Сумма углов в \( \triangle OAB \) равна \( 180^\circ \):

\[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \]

\[ \angle OBA + \angle OBA + 156^\circ = 180^\circ \]

\[ 2 \angle OBA = 180^\circ - 156^\circ \]

\[ 2 \angle OBA = 24^\circ \]

\[ \angle OBA = \frac{24^\circ}{2} \]

\[ \angle OBA = 12^\circ \]

Так как \( \angle OBA = \angle ABO \), то \( \angle ABO = 12^\circ \).

Ответ: 12