3. В треугольнике MNK MN = NK. Точки A, B и C — середины сторон MK, MN и NK соответственно. Докажите, что ∠MAB = ∠KAC.

Так как MN = NK, точка N лежит на серединном перпендикуляре к MK. Точка A — середина MK, поэтому NA ⟂ MK.

В треугольнике MKN отрезок AB соединяет середины MK и MN, значит, AB ∥ KN и AB = KN/2. Отрезок AC соединяет середины MK и KN, значит, AC ∥ MN и AC = MN/2. Из MN = NK следует AB = AC.

Треугольники MAB и KAC равны по двум сторонам и углу между ними: AM = AK, AB = AC, а ∠MAB = ∠KAC как углы между соответственно перпендикулярными прямыми AM, AK и параллельными KN, MN. Следовательно, соответствующие углы равны: ∠MAB = ∠KAC.