3 ВАРИАНТ. 2. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 20 и 21. Площадь ее поверхности равна 3030. Найдите боковое ребро этой призмы.

Задание 2 (Вариант 3). Прямая призма с ромбом в основании

Дано:

• Основание — ромб с диагоналями \( d_1 = 20 \) и \( d_2 = 21 \).
• Площадь полной поверхности призмы: \( S_{полн} = 3030 \).

Найти: Боковое ребро (высоту) призмы \( h \).

Решение:

1. Площадь ромба (основания призмы): \( S_{осн} = ½ · d_1 · d_2 = ½ · 20 · 21 = 10 · 21 = 210 \).
2. Площадь полной поверхности призмы: \( S_{полн} = 2 · S_{осн} + S_{бок} \).
3. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = S_{полн} - 2 · S_{осн} = 3030 - 2 · 210 = 3030 - 420 = 2610 \).
4. Площадь боковой поверхности призмы также вычисляется по формуле: \( S_{бок} = P_{осн} · h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.
5. Чтобы найти периметр ромба, сначала найдем его сторону \( a \). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Получится 4 прямоугольных треугольника со сторонами \( ½ d_1 = 10 \) и \( ½ d_2 = 10.5 \).
6. Найдем сторону ромба по теореме Пифагора: \( a^2 = (10)^2 + (10.5)^2 = 100 + 110.25 = 210.25 \).
7. \( a = √{210.25} = 14.5 \).
8. Периметр ромба: \( P_{осн} = 4 · a = 4 · 14.5 = 58 \).
9. Теперь найдем высоту (боковое ребро) призмы: \( h = ¯¯¯{S_{бок}}{P_{осн}} = ¯¯¯{2610}{58} \).
10. Вычисляем: \( 2610 : 58 = 45 \).

Ответ: 45.