3 ВАРИАНТ. 3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь ее поверхности равна 504. Найдите высоту призмы.

Задание 3 (Вариант 3). Прямая треугольная призма

Дано:

• Основание — прямоугольный треугольник с катетами \( a=9 \) и \( b=12 \).
• Площадь полной поверхности призмы: \( S_{полн} = 504 \).

Найти: Высоту призмы \( h \).

Решение:

1. Сначала найдем гипотенузу \( c \) прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \).
2. Извлекаем корень: \( c = √{225} = 15 \).
3. Периметр основания: \( P_{осн} = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36 \).
4. Площадь основания (прямоугольного треугольника): \( S_{осн} = ½ · a · b = ½ · 9 · 12 = 54 \).
5. Площадь полной поверхности призмы: \( S_{полн} = 2 · S_{осн} + S_{бок} \).
6. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = S_{полн} - 2 · S_{осн} = 504 - 2 · 54 = 504 - 108 = 396 \).
7. Площадь боковой поверхности также вычисляется по формуле: \( S_{бок} = P_{осн} · h \).
8. Найдем высоту призмы: \( h = ¯¯¯{S_{бок}}{P_{осн}} = ¯¯¯{396}{36} \).
9. Вычисляем: \( 396 : 36 = 11 \).

Ответ: 11.