5. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 34. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Задание 5. Треугольная призма, сечение средней линией

Дано:

• Плоскость проведена через среднюю линию основания треугольной призмы, параллельно боковому ребру.
• Площадь боковой поверхности отсеченной призмы: \( S_{бок. отс. } = 34 \).

Найти: Площадь боковой поверхности исходной призмы \( S_{бок. исх.} \).

Решение:

Когда плоскость проводится через среднюю линию основания треугольной призмы параллельно боковому ребру, она отсекает меньшую призму. Основание этой меньшей призмы (треугольник) будет подобно основанию исходной призмы. Средняя линия делит стороны треугольника пополам, следовательно, коэффициент подобия оснований будет равен \( k = ½ \).

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: \( S_{бок} = P_{осн} · h \).

Периметр основания отсеченной призмы \( P_{осн. отс.} \) будет в 2 раза меньше периметра основания исходной призмы \( P_{осн. исх.} \), так как каждая сторона основания отсеченной призмы в 2 раза меньше соответствующей стороны основания исходной призмы.

\( P_{осн. отс.} = ½ · P_{осн. исх.} \).

Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы, так как плоскость параллельна боковому ребру.

Тогда площадь боковой поверхности отсеченной призмы:

\( S_{бок. отс. } = P_{осн. отс.} · h = (½ · P_{осн. исх.}) · h = ½ · (P_{осн. исх.} · h) \).

Заметим, что \( P_{осн. исх.} · h \) — это площадь боковой поверхности исходной призмы \( S_{бок. исх.} \).

Следовательно, \( S_{бок. отс. } = ½ · S_{бок. исх.} \).

Нам дано, что \( S_{бок. отс. } = 34 \). Тогда:

\( 34 = ½ · S_{бок. исх.} \).

Чтобы найти площадь боковой поверхности исходной призмы, умножим площадь боковой поверхности отсеченной призмы на 2:

\( S_{бок. исх.} = 2 · S_{бок. отс. } = 2 · 34 = 68 \).

Ответ: 68.