3. Вычислите определённый интеграл: а) $\int_0^{\pi/2}\left(-\frac1{\sqrt{x}}+\cos x\right)dx$; б) $\int_1^2\frac{2x^3+7x^2-3x-5}{x^2}\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Вычислите определённый интеграл: а) $\int_0^{\pi/2}\left(-\frac1{\sqrt{x}}+\cos x\right)dx$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Интеграл несобственный в точке $x=0$, но сходится, так как $x^{-1/2}$ интегрируема вблизи нуля. Первообразная: $-2\sqrt{x}+\sin x$.

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\left(-\frac1{\sqrt{x}}+\cos x\right)dx=\left[-2\sqrt{x}+\sin x\right]_0^{\pi/2}=1-2\sqrt{\frac{\pi}{2}}.$

б) Разделим каждый член числителя на $x^2$: $\frac{2x^3+7x^2-3x-5}{x^2}=2x+7-\frac3x-\frac5{x^2}$.

Первообразная равна $x^2+7x-3\ln x+\frac5x$. Поэтому

$\displaystyle \int_1^2\frac{2x^3+7x^2-3x-5}{x^2}\,dx=\left[x^2+7x-3\ln x+\frac5x\right]_1^2=7-3\ln 2.$

Ответ: а) $1-2\sqrt{\frac{\pi}{2}}$; б) $7-3\ln 2$.

3. Вычислите определённый интеграл: а) \(\int_0^{\pi/2}\left(-\frac1{\sqrt{x}}+\cos x\right)dx\); б) \(\int_1^2\frac{2x^3+7x^2-3x-5}{x^2}\,dx\).